L’intelligence artificielle a vérifié de manière indépendante une preuve de l’un des problèmes mathématiques les plus difficiles – le problème de l’emballage de sphères de dimension supérieure – un exploit qui a valu à la mathématicienne ukrainienne Maryna Viazovska une médaille Fields en 2022. Cette étape marque un changement fondamental dans la façon dont la recherche mathématique est menée, allant du simple outil informatique à un partenaire de raisonnement collaboratif.
Le rôle évolutif de l’IA en mathématiques
Pendant des siècles, les mathématiciens se sont appuyés sur des outils tels que des bouliers, des calculatrices et des ordinateurs pour faciliter leurs calculs. Cependant, ces outils sont restés des extensions de l’intellect humain, sans jamais remplacer le processus de raisonnement fondamental. L’émergence actuelle de l’IA en mathématiques est fondamentalement différente : ces systèmes aident désormais non seulement au calcul, mais aussi au raisonnement lui-même, en automatisant de nombreuses étapes sous-jacentes aux arguments mathématiques.
Ce changement a été progressif. Les mathématiques modernes s’appuient déjà sur des cadres complexes et de vastes catalogues de résultats qu’aucune personne seule ne peut pleinement comprendre. Les ordinateurs ont déjà aidé à de grandes preuves, comme le théorème des quatre couleurs et la conjecture de Kepler, mais les systèmes d’IA d’aujourd’hui offrent un nouveau niveau d’autonomie et de fiabilité, en particulier lorsqu’ils sont associés à des assistants de preuve formels.
Le pouvoir de la vérification formelle
Les langages de vérification formelle, tels que Lean, expriment les arguments mathématiques d’une manière que les ordinateurs peuvent vérifier étape par étape, garantissant ainsi la solidité logique. Contrairement à l’écriture mathématique traditionnelle, le Lean exige des définitions et des inférences explicites, vérifiant méticuleusement chaque étape. Bien qu’impitoyable, ce processus élimine les hypothèses cachées et les actes de foi. Le résultat est mathématiquement certain, à condition que la preuve passe l’examen minutieux de Lean.
Au cours des dernières années, les mathématiciens ont constitué de vastes bibliothèques dans ces langages, rassemblant des définitions et des théorèmes vérifiés pour résoudre des problèmes de plus en plus complexes. Le goulot d’étranglement résidait auparavant dans le processus fastidieux de conversion d’épreuves de pointe sous une forme vérifiable par machine, une tâche qui pouvait prendre des mois, voire des années.
Percée : la preuve de Viazovska vérifiée par l’IA
La vérification récente du problème d’emballage de sphères de dimension supérieure de Viazovska démontre les progrès rapides dans ce domaine. Le problème de l’emballage des sphères demande à quel point des sphères identiques peuvent être emballées ensemble dans des espaces de n’importe quelle dimension. Viazovska a résolu le problème pour huit et 24 dimensions, en s’appuyant sur un travail qui n’avait été réalisé auparavant que pour une, deux et trois dimensions.
La startup d’IA Math, Inc., à l’aide de son agent de raisonnement Gauss, a joué un rôle central dans la traduction des arguments de Viazovska en code Lean et dans la vérification de chaque étape. Le système d’IA ne fonctionnait pas de manière isolée ; les mathématiciens ont fourni le plan et la structure initiale. Cependant, une fois installé, Gauss a achevé le travail en quelques jours, une tâche qui, selon les chercheurs humains, prendrait des mois.
L’avenir de la recherche mathématique
C’est plus qu’une réussite technique ; cela signale un changement fondamental dans la façon dont travaillent les mathématiciens. Terence Tao, médaillé Fields, suggère que la valeur immédiate de l’IA réside dans l’automatisation de tâches fastidieuses mais conceptuellement simples, permettant aux mathématiciens de se concentrer sur la stratégie plutôt que sur la comptabilité. Cette séparation entre la génération d’idées créatives et la vérification rigoureuse est la clé.
Kevin Buzzard de l’Imperial College de Londres met en garde contre le recours à de grands modèles de langages non vérifiés, mais affirme que les langages de vérification formelle comme Lean offrent une solution. Si une preuve réussit le programme, elle est garantie d’être valide. Le principal défi consiste désormais à traduire davantage de mathématiques modernes dans ces bibliothèques formelles, en donnant aux systèmes d’IA les concepts nécessaires avec lesquels travailler.
Conclusion
L’IA ne remplace pas les mathématiciens, mais redéfinit leur rôle. L’avenir des mathématiques impliquera probablement la création et le réglage d’outils qui repousseront les limites cognitives humaines, en associant l’intuition à la discipline des machines. À mesure que les mathématiques vérifiables se développent, la demande d’humains capables de poser les bonnes questions, de créer de nouvelles définitions et de reconnaître de véritables idées augmentera également. Le partenariat entre l’intellect humain et l’intelligence artificielle sera le moteur de la prochaine ère de découverte mathématique.
