Kunstmatige intelligentie heeft onafhankelijk bewijs geleverd voor een van de meest uitdagende problemen in de wiskunde – het hoger-dimensionale ‘sphere-packing’-probleem – een prestatie die de Oekraïense wiskundige Maryna Viazovska in 2022 een Fields-medaille opleverde. Deze mijlpaal markeert een fundamentele verschuiving in de manier waarop wiskundig onderzoek wordt uitgevoerd, waarbij AI niet alleen een rekeninstrument is, maar ook een partner voor collaboratief redeneren.
De evoluerende rol van AI in de wiskunde
Eeuwenlang vertrouwden wiskundigen op hulpmiddelen als telramen, rekenmachines en computers om te helpen bij berekeningen. Deze hulpmiddelen bleven echter verlengstukken van het menselijk intellect en hebben nooit het kernredeneringsproces vervangen. De huidige opkomst van AI in de wiskunde is fundamenteel anders: deze systemen helpen nu niet alleen bij het rekenen, maar ook bij het redeneren zelf, waardoor veel onderliggende stappen in wiskundige argumenten worden geautomatiseerd.
Deze verandering is geleidelijk verlopen. De moderne wiskunde vertrouwt al op complexe raamwerken en uitgebreide catalogi van resultaten die geen enkele persoon volledig kan bevatten. Computers hebben al eerder grote bewijzen geleverd, zoals de vierkleurenstelling en het vermoeden van Kepler, maar de huidige AI-systemen bieden een nieuw niveau van autonomie en betrouwbaarheid, vooral in combinatie met formele bewijsassistenten.
De kracht van formele verificatie
Formele verificatietalen, zoals Lean, drukken wiskundige argumenten uit op een manier die computers stap voor stap kunnen controleren, waardoor logische deugdelijkheid wordt gegarandeerd. In tegenstelling tot traditioneel wiskundig schrijven vereist Lean expliciete definities en gevolgtrekkingen, waarbij elke stap nauwgezet wordt gecontroleerd. Dit proces is weliswaar meedogenloos, maar elimineert verborgen aannames en sprongen in het diepe. Het resultaat is wiskundig zeker, op voorwaarde dat het bewijs de kritische blik van Lean doorstaat.
De afgelopen jaren hebben wiskundigen uitgebreide bibliotheken binnen deze talen gebouwd, waarbij ze definities en geverifieerde stellingen hebben verzameld om steeds complexere problemen aan te pakken. Het knelpunt was voorheen het tijdrovende proces van het omzetten van geavanceerde proefdrukken in een machinaal controleerbare vorm – een taak die maanden of jaren kon duren.
Doorbraak: het bewijs van Viazovska geverifieerd door AI
De recente verificatie van Viazovska’s hoger-dimensionale bolpakkingsprobleem toont de snelle vooruitgang op dit gebied aan. Het bolpakkingsprobleem vraagt zich af hoe dicht identieke bollen op elkaar kunnen worden gepakt in ruimtes van welke afmeting dan ook. Viazovska loste het probleem voor acht en 24 dimensies op, voortbouwend op werk dat eerder alleen voor één, twee en drie dimensies was voltooid.
De AI-startup Math, Inc. speelde, met behulp van zijn redeneermiddel Gauss, een cruciale rol bij het vertalen van de argumenten van Viazovska naar Lean-code en het verifiëren van elke stap. Het AI-systeem werkte niet geïsoleerd; wiskundigen zorgden voor de initiële blauwdruk en structuur. Maar eenmaal opgezet, voltooide Gauss het werk in enkele dagen – een taak die volgens menselijke onderzoekers maanden zou duren.
De toekomst van wiskundig onderzoek
Dit is meer dan een technische prestatie; het signaleert een fundamentele verschuiving in de manier waarop wiskundigen werken. Fields-medaillewinnaar Terence Tao suggereert dat de onmiddellijke waarde van AI ligt in het automatiseren van vervelende maar conceptueel eenvoudige taken, waardoor wiskundigen zich kunnen concentreren op strategie in plaats van op boekhouding. Deze scheiding tussen het genereren van creatieve ideeën en rigoureuze controle is de sleutel.
Kevin Buzzard van Imperial College London waarschuwt voor het vertrouwen op niet-geverifieerde grote taalmodellen, maar stelt dat formele verificatietalen zoals Lean een oplossing bieden. Als een proefdruk het programma doorstaat, is deze gegarandeerd geldig. De belangrijkste uitdaging is nu het vertalen van meer moderne wiskunde naar deze formele bibliotheken, waardoor AI-systemen de noodzakelijke concepten krijgen om mee te werken.
Conclusie
AI vervangt geen wiskundigen, maar herdefinieert hun rol. De toekomst van de wiskunde zal waarschijnlijk gepaard gaan met het bouwen en afstemmen van instrumenten die de menselijke cognitieve grenzen verleggen, waarbij intuïtie wordt gecombineerd met machinediscipline. Naarmate de verifieerbare wiskunde zich uitbreidt, zal ook de vraag naar mensen toenemen die de juiste vragen kunnen stellen, nieuwe definities kunnen creëren en echte inzichten kunnen herkennen. De samenwerking tussen menselijk intellect en kunstmatige intelligentie zal het volgende tijdperk van wiskundige ontdekkingen aandrijven.
